Probabilités - Complémentaire
Lois continues : loi exponentielle
Exercice 1 : Probabilité loi exponentielle - deux bornes
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(2\).
Déterminer \(P\left( 1 \leq X \leq 5 \right)\) .
Déterminer \(P\left( 1 \leq X \leq 5 \right)\) .
Exercice 2 : Probabilité loi exponentielle - une borne
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(\dfrac{1}{8}\).
Déterminer \(P\left( X \geq 9 \right)\) .
Déterminer \(P\left( X \geq 9 \right)\) .
Exercice 3 : Question de cours sur le paramètre d'une loi exponentielle
On rappelle qu'une loi de probabilité \(p\) suit une loi dite exponentielle de paramètre \(2,32\) si \(p\) possède la propriété suivante :
\[ p(x \leq t) = \int_{0}^{t} 2,32 \text{e}^{-2,32 x} \text{d}x \]
où \(t\) est un réel positif.
Quelle est l'espérance mathématique de \(p\) ? On attend le résultat sous forme exacte.
Exercice 4 : Calculs autour du paramètre d'une loi exponentielle
En 2014, le robot Philae s'est posé sur la comète Tchouri après plus de dix ans de voyage dans l'espace. Les scientifiques purent
ainsi pour la première fois étudier la composition d'une comète et ses propriétés.
Une telle expédition suppose une importante longévité du robot. Aussi les scientifiques ont conçu Philae de sorte à ce qu'il vive au moins 12 ans.
Des études préalables ont montré que la durée de vie \(p\) du robot suivait une loi exponentielle de paramètre srictement positif \(a\) : \[ p(x \leq t) = \int_{0}^{t} a \text{e}^{-a x} \text{d}x \] où \(p(x \leq t)\) donne la probabilité que Philae ait une panne au bout de \(t\) années. \(a\) est un paramètre qui décrit la qualité du robot.Quelle est la probabilité \(p(x \leq 12)\) qu'une panne survienne lors des 12 années prévues de la mission de Philae ? On attend une réponse sous forme exacte qui dépendra du paramètre de qualité \(a\).
Une telle expédition suppose une importante longévité du robot. Aussi les scientifiques ont conçu Philae de sorte à ce qu'il vive au moins 12 ans.
Des études préalables ont montré que la durée de vie \(p\) du robot suivait une loi exponentielle de paramètre srictement positif \(a\) : \[ p(x \leq t) = \int_{0}^{t} a \text{e}^{-a x} \text{d}x \] où \(p(x \leq t)\) donne la probabilité que Philae ait une panne au bout de \(t\) années. \(a\) est un paramètre qui décrit la qualité du robot.Quelle est la probabilité \(p(x \leq 12)\) qu'une panne survienne lors des 12 années prévues de la mission de Philae ? On attend une réponse sous forme exacte qui dépendra du paramètre de qualité \(a\).
À quel ensemble doit appartenir \(a\) si l'on souhaite réduire cette probabilité à au plus 0,015 ?
On attend le résultat sous la forme d'un intervalle : \(\left]0 ; l\right]\) avec \(l\) une valeur à déterminer.
Exercice 5 : Paramètre de la loi exponentielle à partir d'une probabilité - une borne
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).
Sachant que \(P\left( X \leq 5 \right) = \dfrac{7}{8}\), déterminer le paramètre \(\lambda\).
Sachant que \(P\left( X \leq 5 \right) = \dfrac{7}{8}\), déterminer le paramètre \(\lambda\).